前一篇先看了 CPU 里哪些部件负责计算、保存和控制。这一篇把二进制的读法和计算单独整理出来，后面搭运算电路时，就能先判断结果应该是什么。
下面先按无符号整数，也就是 0 和正整数来计算。负数和补码，留到需要处理它们时再展开。
1. 二进制怎样表示一个数？
十进制用 0 到 9，某一位满十就向左进一。二进制只用 0 和 1，某一位满二就向左进一，所以数到 1 以后，下一个数就是 10。
| 十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 |
一位就是一个只能放 0 或 1 的位置。 八位组成一个字节；一个数用多少位来放，就叫它的位宽。101 和 0101 都表示 5，前面的 0 可以用来补齐约定的位宽。
十进制从右往左是个位、十位、百位，二进制从右往左则是 1、2、4、8、16、32……。每往左一位，代表的大小翻一倍。这个位置代表的大小，叫位权。
位权： 8 4 2 1
二进制 0101： 0 1 0 1
0101 = 0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 5
每一位都能选 0 或 1，所以四位一共有 2×2×2×2 = 16 种组合，表示 0 到 15。一般来说，n 位有 2^n 种组合，无符号数的范围是 0～2^n−1。
2^n 表示 n 个 2 相乘，例如 2^4 = 2×2×2×2 = 16。范围的上限还要减 1，是因为这些组合从 0 开始编号，0 也占一种。后文用 10₂ 这样的下标表示二进制；没有下标时，按表头或上下文说明的进制读。
电路里，多位数据可以用多根线一起传，每根线负责一位。这组线合起来就是数据总线。
2. 二进制和十进制怎样互换？
二进制转十进制：把为 1 的位置加起来
例如 110101：
位权： 32 16 8 4 2 1
各位： 1 1 0 1 0 1
110101 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53
为 0 的位置不贡献数值，可以直接跳过。
十进制转二进制：从大到小拆成位权
反过来把 53 写成二进制，就从不超过 53 的最大位权 32 开始。能减就写 1，不能减就写 0：
| 当前位权 | 剩下的数够不够减 | 这一位写什么 | 减完剩多少 |
|---|---|---|---|
| 32 | 53 够减 32 | 1 | 21 |
| 16 | 21 够减 16 | 1 | 5 |
| 8 | 5 不够减 8 | 0 | 5 |
| 4 | 5 够减 4 | 1 | 1 |
| 2 | 1 不够减 2 | 0 | 1 |
| 1 | 1 够减 1 | 1 | 0 |
从上往下读这一列，就得到 110101。中间不够减的位置也要写 0，否则后面各位的位置就变了。
十六进制可以把二进制写短一点：每四位对应一位十六进制。十六进制的 A～F 分别表示 10～15，例如 1111 写成 F；0011 1100 分成两组，分别是 3 和 12，因此写成 3C，表示十进制的 60。
3. 加法和减法：进位与借位
加法满二进一
最基本的规则是：
| 本位相加 | 二进制结果 | 本位留下什么 | 向高一位进多少 |
|---|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 + 1，或 1 + 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 + 1 | 10 | 0 | 1 |
| 1 + 1 + 低位进来的 1 | 11 | 1 | 1 |
例如 0101 + 0011，也就是 5 加 3：
0101
+ 0011
------
1000
从右往左算：
- 最右边：
1 + 1 = 10，写 0，向左进 1。 - 第二位：
0 + 1 + 进位1 = 10，写 0，再向左进 1。 - 第三位：
1 + 0 + 进位1 = 10，写 0，再向左进 1。 - 最左边：
0 + 0 + 进位1 = 1，写 1。
得到 1000，就是 8。高一位要把低位送来的进位一起算进去。
减法不够减，就向高位借
二进制中，向左边借来的 1，在当前位相当于 2，也就是二进制的 10。所以本来不够算的 0 − 1，借位后就变成 10 − 1 = 1。
例如 0110 − 0011，也就是 6 减 3：
0110
- 0011
------
0011
最右边的 0 − 1 不够，向左借 1，本位得到 1；左边原来的 1 已经借走，变成了 0。第二位现在又是 0 − 1，再向更高位借 1，也得到 1。剩下的高两位都是 0 − 0，所以结果为 0011，就是 3。
如果左边也是 0，就需要继续向更高位借。例如 1000 − 0001，也就是 8 减 1。可以先把借位后的各列数量写出来，再逐列相减：
| 借位过程 | 权重 8 的列 | 权重 4 的列 | 权重 2 的列 | 权重 1 的列 |
|---|---|---|---|---|
| 原来的 1000 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 从权重 8 借一个到权重 4 | 0 | 2 | 0 | 0 |
| 从权重 4 再借一个到权重 2 | 0 | 1 | 2 | 0 |
| 从权重 2 再借一个到权重 1 | 0 | 1 | 1 | 2 |
| 各列减去 0001 | 0 | 1 | 1 | 1 |
表中的 2 是借位过程中暂时放在该列的数量，不是二进制数里允许写出的数字。每一步都只是换一种方式分配同一个 8，例如最后借完时 0×8 + 1×4 + 1×2 + 2×1 = 8。减去最低位的 1 后，得到 0111，也就是 7。
这里先讨论被减数不小于减数的情况。得到负数时该怎样表示，后面和补码一起讲。
4. 乘法和除法
乘法：每一位只有“加上”或“不加”
乘数的某一位是 0，这一行就是 0；是 1，就把被乘数写下来，再按这一位的位置向左错开。
例如 101 × 11，也就是 5 乘 3：
101
× 11
------
101 乘数最低位为 1：加上 101
+ 1010 高一位也为 1：把 101 左移一位再加
------
1111
这里相当于算 5×1 + 5×2 = 15，结果 1111 就是 15。
除法：够减一次就商 1，不够就商 0
和十进制竖式除法一样，从左往右读被除数，每次把下一位接到当前余数的右边，再判断够不够减去除数。
“接到右边”可以按一个具体动作来算：旧余数左移一位，再添入刚读到的位，也就是 当前值 = 旧余数 × 2 + 新读入的位。例如旧余数是 1，再读到一个 1，当前值就是二进制 11，数值为 3。
例如 1101 ÷ 11，也就是 13 除以 3。下表里的数都用二进制表示：
| 读到哪一位 | 当前拿来除的数 | 这一位的商 | 本步余数 |
|---|---|---|---|
| 第 1 位：1 | 1，不够减 11 | 0 | 1 |
| 第 2 位：1 | 11，够减 11 | 1 | 0 |
| 第 3 位：0 | 0，不够减 11 | 0 | 0 |
| 第 4 位：1 | 1，不够减 11 | 0 | 1 |
商按顺序是 0100，去掉前面的 0 就是 100，余数为 1。也就是商 4、余 1；用 4×3 + 1 = 13 可以核对。除数不能为 0。
为什么每一步只需要判断“能不能减一次”？上一步的余数一定小于除数；乘 2 再加上新读入的 0 或 1 后，当前值仍小于除数的两倍。所以本步的商只能是 0 或 1，减一次已经足够，不会需要写出商 2。
5. 按位运算、奇偶与计数
按位运算是把对应位置分别交给逻辑门。例如两组四位数据做 AND，得到的仍是四位：
0101
0011
----
0001 每一列分别做 AND
对同一对输入，几种运算的结果可以放在一起看：
| 对 0101 和 0011 做什么 | 结果 |
|---|---|
| 加法 | 1000 |
| 按位 AND | 0001 |
| 按位 OR | 0111 |
| 按位 XOR | 0110 |
加法会在位与位之间传递进位；按位 AND、OR、XOR 则是各个位置分别判断。因此 OR 与加法得到的结果可能不同。
把一组位用 XOR 合并，每一步的结果再与下一位做 XOR，最后就只留下一个 0 或 1。从 0 开始算，每遇到一个 1，结果就翻转一次；遇到 0 则不变。所以最后为 1，说明有奇数个 1；最后为 0，说明有偶数个 1。
用同一个 0101 来区分三件事：
| 要判断什么 | 答案 | 理由 |
|---|---|---|
| 这个数是不是奇数 | 是 | 它表示 5；最低位是 1，其余位置代表的都是偶数 |
| 里面有奇数个 1 吗 | 没有 | 一共有两个 1，所以各位 XOR 的结果是 0 |
| 里面一共有几个 1 | 两个 | 要输出数量 2，也就是二进制的 10 |
先弄清要求的是数值、奇偶判断，还是数量，才能知道应该输出几位、算什么。
6. 几个速算方法，以及位宽的限制
| 看到的形式 | 可以怎样读 | 例子 |
|---|---|---|
| 只有一个 1，后面全是 0 | 直接看这个 1 所在位置的位权 | 10000 是 16 |
| n 位全是 1 | 比下一个位权小 1，即 2^n−1 |
1111 = 16−1 = 15 |
| 最低位是 0 或 1 | 分别是偶数或奇数 | 1010 是偶数，1011 是奇数 |
| 左移一位，右边补 0 | 位数足够时相当于乘 2 | 0011 → 0110，即 3 → 6 |
| 右移一位，左边补 0 | 对无符号整数，相当于除以 2 后取整数部分 | 0111 → 0011，即 7 → 3，原最低位说明余数为 1 |
纸上计算时可以往左多写一位，固定宽度的电路则未必能保存多出来的那一位。例如：
1111 + 0001 = 1 0000
15 加 1 得到 16，需要五位才能表示。若输出只保留四位，就只剩下 0000；额外的进位要用另一条信号表示，才能保留这次计算的完整结果。四位的 1000 左移一位时也一样：完整结果是 10000，若只留四位就变成 0000。
因此，速算时除了看运算，还要看允许保留多少位。这一篇先把数算清楚；后面搭电路时，再把结果位、进位以及保存的位置一一对应起来。
7. 二进制交互速算
下面是一个二进制速算练习：点选 128 到 1 的位权，让它们加起来等于目标数。每点一下都会算出当前的和，并提示还差多少或多了多少；凑对以后，会显示目标数的二进制写法。「换一题」随机给出 1～255 之间的新目标，「清空」取消全部选择。
练习是网页上的交互组件，在网站版里可以直接操作；在 GitHub 上阅读时，这里只有这段说明。